週２日勤務の運転者は認められるか

貨物自動車運送事業輸送安全規則第3条第2項で常時選任運転者の規定がありますね。

（過労運転の防止）
第三条
２  前項の規定により選任する運転者は、日々雇い入れられる者、二月以内の期間を定めて使用される者又は試みの使用期間中の者（十四日を超えて引き続き使用されるに至った者を除く。）であってはならない。
・日雇いはダメ
・2カ月以内の期間雇用はダメ（逆に言えば3か月ごとの期間契約はＯＫ）
・試みの使用期間の者はダメ（15日以上の人は除く）
とあります。

週2日がダメとは書いていないので問題のケースはこれのどれにも当てはまりません。

もちろんこの会社にて社会保険に加入する必要もありません（平成２９年末調査時点）。

運送業専門とうたっている行政書士のホームページでも

「運転者は常勤でなければいけない」

と書いてあるところもありますが、それは誤りなので時代に即して柔軟に経営を最適化してくださいね。